力學T&M Ch1 純量、向量、座標轉換、少量向量分析

力學deadline突然改到明天12點，剖爽~~

第一章雖然蠻基本的，不過有些Notation真的不是普通的好用，可能可以用一輩子之類的，趕緊趁還有記憶的時候記下來以免向隅。我採用的順序可能跟課本不太一樣，不過個人覺得邏輯上比較有連貫性就是了。

定義一些Notation......

定義矩陣Notation

矩陣乘法則可寫成

矩陣轉置(transpose):

接下來講一下超有用的愛因斯坦Notation，在這個表示法下所有的向量都可以被簡寫成:

A這個向量是由i=1,2,3這三個分量組成的，A₁,A₂,A₃分別為代表A的三個分量的變數。
這樣所有的向量都可以被以單純的純量(每個分量都是純量)的形式來表示!!!!這是這種表示法最大的好處。
有了這個符號後再來定義內積(dot product)跟外積(cross product)的形式。

一般因為很懶的關係比較常直接寫足碼一樣的分量相乘的形式A_iB_i、而右邊那個多出一個足碼j和δ的表示法其實蠻無聊的其中定義:

因為δ的關係強制一定要在i = j的時候乘起來才會有值，故右邊的寫法跟A_iB_i是差不多的不過由於後面會用到δ所以還是先定義一下會比較好。

其中epsilon直定義為:

不難看出epsilon有cyclic才有值的性質，倒過來則是取負號<-這點也蠻重要的。
若是在多個向量連續Cross時會出現好多個eplison、則可利用以下式子化簡:

座標轉換

定義兩個向量AB的directional cosine

且一個向量跟坐標軸的directional cosine會有一些關係。

如此一來的話座標轉換的矩陣剛好就是:

不過這裡的轉換僅限座標旋轉就是了。根據跟舊座標的Directional cosine夾角下新座標必須兩兩垂直便可列出6條限制公式，假設轉換矩陣為λ_ij:

兩式結合簡寫為:

仔細觀察若是偷偷的把右邊的λ作轉置的話就可以得到類似乘法的形式:

而δ_ik仔細看一下裡面的內容好像就是我們常見的單位矩陣I，移項過後就可以得到著名的座標轉換矩陣"若且為若"關係式:

即一個矩陣為座標轉換矩陣若且為若上式成立!!!!!!